Números enteros: Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales.[cita requerida]. Existe el conjunto numérico Q: Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.
Ejemplos: 1,4142135....
NUMEROS NATURALES
Una desventaja de este sistema era no contar con un símbolo para el cero. Astro
podía traer ciertas confusiones.
El sistema numérico maya fue
uno de los primeros en utilizar al mismo tiempo el principio posicional y el cero.
En este sistema 1 kin
(sol) representa un día, 20 kines forman un huinal. Como 20 huinales
representan 400 días, lo cual es mucho mayor que la duración exacta del año
(este sistema fue utilizado para cálculos astronómicos), los mayas llamaron tun a 18 huinales, o 360 días.
Excepto por este nivel, el resto del sistema es vigesimal.
Para representar un numero se
utilizan tres símbolos: el punto (.), una barra (--) y el cero, donde
cada línea representa 5 puntos. Algunos números mayas son:
A partir del numero 20, se usa
un principio posicional, escribiendo los números en forma vertical, de modo que
el numero inferior representan los kines, la siguiente posición hacia arriba
representan los huinales, y así sucesivamente.
NUMEROS NATURALES:
Los números
naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos
números positivos y sin parte decimal.
N= {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7...}
¿Que son los Números
Naturales? Número natural, el que sirve para designar la cantidad de
elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por
N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11,
12,…}
El cero, a veces, se excluye
del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para
contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los
elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…,
16º (decimosexto),…
Los números naturales son los
primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de
contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el
tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales
están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado
de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural,
por lo que se dice que son operaciones internas.
La sustracción, sin embargo,
no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales
puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el
minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se
puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una
operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser
un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor).
Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede
dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un
tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un
cociente se OBTIENE UN RESTO
EL ORIGEN DE LOS NUMEROS ENTEROS
El hombre primitivo sólo era capaz de distinguir entre una cosa o muchas. Durante el proceso de hominización, a medida que aumenta su capacidad de abstracción, aprende a contar. El pensamiento matemático nació por la necesidad de enumerar las reses, contabilizar objetos y controlar el paso del tiempo. Para ninguna de estas actividades era preciso el cero. Contar es identificar los elementos de un conjunto, por ejemplo piedras, con un subconjunto {1,2,..., n} de los números naturales. Los números naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres, cuatro...
Los números naturales, no son suficientes cuando se quiere fijar una referencia. Es el caso de la temperatura ambiente o los tratos comerciales. Una deuda no se puede representar con un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una referencia y la manera de contar a ambos lados de esta: es el número cero, los naturales positivos y los negativos. El número cero apareció en Mesopotamia hacia el siglo III a.C., sin embargo, su primer cometido fue el de un dígito sin contenido, un posicionador, para diferenciar unas cantidades de otras. (Por ejemplo, 1 de 10). Los números enteros cuentan respecto a una referencia: menos dos, menos uno, cero, uno, dos...
Se sabe que los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir; este hecho trajo como consecuencia la extensión del conjunto de los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos, conocidos antiguamente como “números deudos” o “números absurdos”, que datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.
Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Resumen
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
El hombre primitivo sólo era capaz de distinguir entre una cosa o muchas. Durante el proceso de hominización, a medida que aumenta su capacidad de abstracción, aprende a contar. El pensamiento matemático nació por la necesidad de enumerar las reses, contabilizar objetos y controlar el paso del tiempo. Para ninguna de estas actividades era preciso el cero. Contar es identificar los elementos de un conjunto, por ejemplo piedras, con un subconjunto {1,2,..., n} de los números naturales. Los números naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres, cuatro...
Los números naturales, no son suficientes cuando se quiere fijar una referencia. Es el caso de la temperatura ambiente o los tratos comerciales. Una deuda no se puede representar con un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una referencia y la manera de contar a ambos lados de esta: es el número cero, los naturales positivos y los negativos. El número cero apareció en Mesopotamia hacia el siglo III a.C., sin embargo, su primer cometido fue el de un dígito sin contenido, un posicionador, para diferenciar unas cantidades de otras. (Por ejemplo, 1 de 10). Los números enteros cuentan respecto a una referencia: menos dos, menos uno, cero, uno, dos...
Se sabe que los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir; este hecho trajo como consecuencia la extensión del conjunto de los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos, conocidos antiguamente como “números deudos” o “números absurdos”, que datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.
Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Resumen
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Los números naturales, no son suficientes cuando se quiere fijar una referencia. Es el caso de la temperatura ambiente o los tratos comerciales. Una deuda no se puede representar con un número natural, además el frío y el calor deben medirse en relación con algo. Hay que inventar una referencia y la manera de contar a ambos lados de esta: es el número cero, los naturales positivos y los negativos. El número cero apareció en Mesopotamia hacia el siglo III a.C., sin embargo, su primer cometido fue el de un dígito sin contenido, un posicionador, para diferenciar unas cantidades de otras. (Por ejemplo, 1 de 10). Los números enteros cuentan respecto a una referencia: menos dos, menos uno, cero, uno, dos...
Se sabe que los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir; este hecho trajo como consecuencia la extensión del conjunto de los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos, conocidos antiguamente como “números deudos” o “números absurdos”, que datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.
Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Resumen
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Se sabe que los números naturales se pueden sumar y multiplicar, pero no todos se pueden restar o dividir; este hecho trajo como consecuencia la extensión del conjunto de los naturales. El hombre, visto en la imposibilidad de realizar, en general, la operación de resta crea otro conjunto, que viene hacer el conjunto de los números negativos, conocidos antiguamente como “números deudos” o “números absurdos”, que datan de una época donde el interés central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.
Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Resumen
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Hoy en día, los números enteros representan una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Resumen
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Los enteros se representan gráficamente en la recta de números enteros como puntos a un mismo espacio entre sí desde menos infinito,..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... hasta más infinito: los números enteros no tienen principio ni fin.
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Resumen
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Los números negativos pueden aplicarse en distintos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le tocan dos partes de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar dos balines y regalar uno para que la repartición sea justa, o bien conseguir otros dos balines para que a cada uno le toquen tres.
Resumen
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para facilitar su relación con el medio que lo rodea. Es consecuencia de ese proceso la redacción de este artículo.
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
En las siguientes líneas daremos una breve y sustancial descripción acerca de los números enteros en la historia.
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Desde la era primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Inicialmente no utilizábamos la notación indo – arábiga, sino representábamos, las cantidades, con marcas en los árboles, con un montón de piedras, nudos en sogas, etc. Los recursos que utilizábamos dependían de la cultura donde estábamos ubicados.
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
Diversas culturas representan la noción de cantidad según su desarrollo lo permitía. Fruto de esta diversidad nacen las notaciones de cantidad como la romana, babilónica, griega, etc. Se sabe que los babilonios utilizaron simples enteros positivos para tratar de contar unas pocas ovejas, mientras que hoy en día los enteros positivos no satisfacen el complejo mundo de las matemáticas. Desde luego el significado que cada grupo social asigna a un determinado conocimiento o idea, implica mucho en su visión de vida. Por ejemplo los pitagóricos tenían una explicación de la realidad basada en los números. Filolao, filósofo pitagórico, resume perfectamente el papel tan importante que se le otorgaba:
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
“El número reside en todo lo que es conocido. Sin él es imposible pensar nada ni conocer nada.”
el número entero 1, entre el número entero 3 no se podía expresar como un entero. Entonces se definieron los números Racionales como:
"la relación entre dos números enteros, siempre y cuando el denominador no sea nulo (cero)"
Podíamos expresarlo como:
Fracción ===> 1/4 ó como una:
Expresión decimal ===> 0,25 es decir, 1/4 = 0,25
Cuando la división era exacta (1/4 = 0,25), obteníamos una:
Expresión Decimal exacta (0,25)
Cuando la división no era exacta (1/3 = 0,333333....infinitos tres), obteníamos una:
Expresión Decimal Periódica (0,333333333.....)
Por lo tanto, un número Racional es aquel que puede expresarse como una fracción cuyo resultado sea una expresión decimal exacta o una expresión decimal periódica.
Si tomamos una circunferencia, de cualquier tamaño, y dividimos su longitud (perímetro) entre su diámetro, observamos que siempre nos dará un mismo valor (3.14159..............), éste es un número que no se puede expresar como un número Racional ya que no se puede expresar como "una expresión decimal exacta ó una expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
el número entero 1, entre el número entero 3 no se podía expresar como un entero. Entonces se definieron los números Racionales como:
"la relación entre dos números enteros, siempre y cuando el denominador no sea nulo (cero)"
Podíamos expresarlo como:
Fracción ===> 1/4 ó como una:
Expresión decimal ===> 0,25 es decir, 1/4 = 0,25
Cuando la división era exacta (1/4 = 0,25), obteníamos una:
Expresión Decimal exacta (0,25)
Cuando la división no era exacta (1/3 = 0,333333....infinitos tres), obteníamos una:
Expresión Decimal Periódica (0,333333333.....)
Por lo tanto, un número Racional es aquel que puede expresarse como una fracción cuyo resultado sea una expresión decimal exacta o una expresión decimal periódica.
Si tomamos una circunferencia, de cualquier tamaño, y dividimos su longitud (perímetro) entre su diámetro, observamos que siempre nos dará un mismo valor (3.14159..............), éste es un número que no se puede expresar como un número Racional ya que no se puede expresar como "una expresión decimal exacta ó una expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
"la relación entre dos números enteros, siempre y cuando el denominador no sea nulo (cero)"
Podíamos expresarlo como:
Fracción ===> 1/4 ó como una:
Expresión decimal ===> 0,25 es decir, 1/4 = 0,25
Cuando la división era exacta (1/4 = 0,25), obteníamos una:
Expresión Decimal exacta (0,25)
Cuando la división no era exacta (1/3 = 0,333333....infinitos tres), obteníamos una:
Expresión Decimal Periódica (0,333333333.....)
Por lo tanto, un número Racional es aquel que puede expresarse como una fracción cuyo resultado sea una expresión decimal exacta o una expresión decimal periódica.
Si tomamos una circunferencia, de cualquier tamaño, y dividimos su longitud (perímetro) entre su diámetro, observamos que siempre nos dará un mismo valor (3.14159..............), éste es un número que no se puede expresar como un número Racional ya que no se puede expresar como "una expresión decimal exacta ó una expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Podíamos expresarlo como:
Fracción ===> 1/4 ó como una:
Expresión decimal ===> 0,25 es decir, 1/4 = 0,25
Cuando la división era exacta (1/4 = 0,25), obteníamos una:
Expresión Decimal exacta (0,25)
Cuando la división no era exacta (1/3 = 0,333333....infinitos tres), obteníamos una:
Expresión Decimal Periódica (0,333333333.....)
Por lo tanto, un número Racional es aquel que puede expresarse como una fracción cuyo resultado sea una expresión decimal exacta o una expresión decimal periódica.
Si tomamos una circunferencia, de cualquier tamaño, y dividimos su longitud (perímetro) entre su diámetro, observamos que siempre nos dará un mismo valor (3.14159..............), éste es un número que no se puede expresar como un número Racional ya que no se puede expresar como "una expresión decimal exacta ó una expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Cuando la división era exacta (1/4 = 0,25), obteníamos una:
Expresión Decimal exacta (0,25)
Cuando la división no era exacta (1/3 = 0,333333....infinitos tres), obteníamos una:
Expresión Decimal Periódica (0,333333333.....)
Por lo tanto, un número Racional es aquel que puede expresarse como una fracción cuyo resultado sea una expresión decimal exacta o una expresión decimal periódica.
Si tomamos una circunferencia, de cualquier tamaño, y dividimos su longitud (perímetro) entre su diámetro, observamos que siempre nos dará un mismo valor (3.14159..............), éste es un número que no se puede expresar como un número Racional ya que no se puede expresar como "una expresión decimal exacta ó una expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Cuando la división no era exacta (1/3 = 0,333333....infinitos tres), obteníamos una:
Expresión Decimal Periódica (0,333333333.....)
Por lo tanto, un número Racional es aquel que puede expresarse como una fracción cuyo resultado sea una expresión decimal exacta o una expresión decimal periódica.
Si tomamos una circunferencia, de cualquier tamaño, y dividimos su longitud (perímetro) entre su diámetro, observamos que siempre nos dará un mismo valor (3.14159..............), éste es un número que no se puede expresar como un número Racional ya que no se puede expresar como "una expresión decimal exacta ó una expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Por lo tanto, un número Racional es aquel que puede expresarse como una fracción cuyo resultado sea una expresión decimal exacta o una expresión decimal periódica.
Si tomamos una circunferencia, de cualquier tamaño, y dividimos su longitud (perímetro) entre su diámetro, observamos que siempre nos dará un mismo valor (3.14159..............), éste es un número que no se puede expresar como un número Racional ya que no se puede expresar como "una expresión decimal exacta ó una expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Si tomamos una circunferencia, de cualquier tamaño, y dividimos su longitud (perímetro) entre su diámetro, observamos que siempre nos dará un mismo valor (3.14159..............), éste es un número que no se puede expresar como un número Racional ya que no se puede expresar como "una expresión decimal exacta ó una expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales.
Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. Debido a ello, los más célebres de éstos son identificados mediante símbolos, dos de ellos son
Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. Debido a ello, los más célebres de éstos son identificados mediante símbolos, dos de ellos son
expresión decimal periódica."
De la misma manera: raíz de2, raíz de 5, etc.....
Estos números no se podían catalogar de Racionales entonces, donde los ponemos?
Exactamente, como NO SON Racionales, los ponemos, Irracionales.
Luego, "un número Irracional es un número que no es Racional", es decir, que no puede ser expresado como una expresión decimal exacta (finita) o como una expresión decimal periódica.
3.14159...... es un número que todavía no se ha demostrado el tener un dígito que se repita periódicamente. Este es el famoso número pi.
Por último, a la agrupación de los Racionales y los Irracionales se les denominó: Real
Podemos imaginarnos entonces que, para esa época, un número era Racional ó Irracional; pero, todos, eran Reales. Número real
El hombre desde principios de la evolución siempre utilizó recursos para
facilitar su relación con el medio que lo rodea; para contar cantidades
utilizaba piedras, hacía marcas en los árboles o nudos en sogas. Desde la era
primitiva el hombre siempre buscó respuestas a sus inquietudes. La inquietud
permitió la aparición de conceptos abstractos en la mente del hombre primitivo
ya evolucionado. Cuando el hombre desarrolla la capacidad de darle sentido
racional a las cosas, nace el concepto de cantidad.
El concepto de fracción surge
intuitivamente cuando se pretende dividir una unidad en partes del mismo tamaño
(por ejemplo, un pastel). Cada uno de los elementos individuales obtenidos es
una parte fraccionaria de la unidad. Conceptualmente, el conjunto de los
números enteros y los fraccionarios así obtenidos conforma un conjunto más
general, llamado de los números racionales.
Números fraccionarios
Un número fraccionario puede verse como un par ordenado de
números enteros (a, b), siendo a, b Î Z, que se expresa también como 
, tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de ser distinto de
cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser:
, tal que a recibe el nombre de numerador y b, que ha de ser distinto de
cero, el de denominador. Los números fraccionarios pueden ser: 
etcétera. 
etcétera.
Las fracciones impropias se expresan también como números mixtos,
constituidos por la suma de un entero y una fracción propia. Por ejemplo, 
puede escribirse también como la suma de 1 y
, que corresponde al número mixto 1.
puede escribirse también como la suma de 1 y, que corresponde al número mixto 1.
Si se considera a la fracción impropia como una división, el numerador
es el dividendo (D) y el denominador el divisor (d). Entonces, el número mixto
que la representa tendrá la forma genérica: 
, siendo c el cociente y r el resto de la división.
, siendo c el cociente y r el resto de la división.
El conjunto de los números racionales
El conjunto que engloba a los números enteros y a los fraccionarios
positivos y negativos conforma el conjunto de los números racionales, que se
denota por Q. Un número racional se define como una clase de equivalencia
del conjunto de pares de la correspondencia Z x Z*, siendo Z* = Z - {0}, de
modo que a cada par (z1, z2) le hace corresponder un
número racional z definido como z = z1/z2. Por ejemplo,
los pares (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), etcétera, son equivalentes y
corresponden a una misma clase de equivalencia representada por el número
racional 1/3.
Representación de los números racionales
El conjunto Q de los números racionales se representa, al igual que el
de los enteros, como una serie de valores discretos sobre una recta. Los
números racionales tampoco llenan la recta, aunque intercalan infinidad de
valores entre los enteros. Dados dos números racionales n y m, n es mayor o
igual que m (n ³ m) si n - m es un número racional positivo o cero; es decir,
el conjunto de los números racionales está ordenado.
Representación gráfica del conjunto Q. Los números Racionales (Q, de "Quotient")
surgieron como una necesidad de poder expresar los cálculos de divisiones entre
dos números enteros (Z) cuyo resultado no se podía expresar como un entero.
Origen de los
números irracionales
Los números irracionales aparecen en la historia de
la matemática vinculados a la geometría. Las magnitudes inconmensurables fueron
descubiertas por la Escuela Pitagórica en el siglo VI A.C., al tratar de
resolver problemas tales como la relación entre la diagonal y el lado de un
pentágono regular. La matemática pitagórica estaba basada en los enteros
positivos y en todo lo que es expresable en términos de operaciones entre ellos
y concebían las figuras constituidas por una cantidad finita de puntos. El descubrimiento
de estas magnitudes, puso en evidencia que tal suposición era falsa y que
muchas demostraciones de la geometría eran falsas o estaban incompletas. A
estos números, que no eran ni enteros ni fracciones, los llamaron alogos o
irracionales. En la época de Platón (428 - 347 A.C.) ya se conocía la
irracionalidad de los números:
Diferentes clases de números
reales.
En matemáticas, los números reales
(designados por 
) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números
irracionales; y en
otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los
trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como: 
, el número real log2, cuya
trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.1
) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números
irracionales; y en
otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los
trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como: , el número real log2, cuya
trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.1
Los
números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas
simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de
matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo
matemático formal.
Durante
los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía
de una base rigurosa, puesto que en el momento no se consideraba necesario el
formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite»,
«se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y
problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa
para la matemática, la cual consistió de definiciones formales
y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.2 En una sección posterior se describirán dos de las definiciones
precisas más usuales actualmente
Historia[editar]
Los egipcios dieron origen por primera vez
a las fracciones
comunes
alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad
de los números
irracionales. Los números negativos fueron ideados por
matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo
XVII, si bien
a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones
negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en
el cálculo se utilizaban números reales
sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición
rigurosa hecha por Georg
Cantor en 1871.
En
realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales
exige tener amplios antecedentes de teoría de
conjuntos y lógica
matemática. Fue
lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX
por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de
conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e
infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras
de Dedekind). Ambos
matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia,
no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la
materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.
Se sabe
que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones
(números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue
con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto
filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas
entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que
les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo
expresaron con la máxima «todo es número».
En la
matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible
encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es
decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos
magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número
es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos
magnitudes deben ser conmensurables.
Sin
embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir
la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no
es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo
rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide raíz
cuadrada de dos 
:Surgió entonces un dilema, ya
que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la
hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los
catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades
numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en
el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.3Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones
(proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando
diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números
irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética
puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas
aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna)
que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b
y q=a+b son tales que p/q es una aproximación más
precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan
una mejor aproximación.4 Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían
ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente,
sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000
años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando
los números reales con los puntos de una línea recta.Nuevos avances en el
concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el
desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y
operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por
ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer
grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en
ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún
un concepto formal de número y se seguía dando primacía a la geometría como fundamento de toda la
matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría
analítica este
punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la
geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área
era simplemente una herramienta para resolver problemas
geométricos.Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes
avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez
primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto
de límite. Así, un número irracional
pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales
(por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse
de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:
:Surgió entonces un dilema, ya
que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la
hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los
catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades
numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en
el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.3Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones
(proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando
diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números
irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética
puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas
aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna)
que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b
y q=a+b son tales que p/q es una aproximación más
precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan
una mejor aproximación.4 Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían
ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente,
sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000
años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando
los números reales con los puntos de una línea recta.Nuevos avances en el
concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el
desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y
operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por
ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer
grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en
ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún
un concepto formal de número y se seguía dando primacía a la geometría como fundamento de toda la
matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría
analítica este
punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la
geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área
era simplemente una herramienta para resolver problemas
geométricos.Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes
avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez
primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto
de límite. Así, un número irracional
pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales
(por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse
de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:
